回归模型是计量里最基础也最常见的模型之一。究其原因，我想是因为在实际问题中我们并不知道总体分布如何，而且只有一组数据，那么试着对数据作回归分析将会是一个不错的选择。
一、简单线性回归
简单的线性回归涉及到两个变量：一个是解释变量，通常称为x；另一个是被解释变量，通常称为y。回归会用常见的最小二乘算法拟合线性模型：
yi = β0 + β1xi +εi
其中β0和β1是回归系数，εi表示误差。
在R中，你可以通过函数lm()去计算他。Lm()用法如下：
lm(formula, data, subset, weights, na.action,
method = "qr", model = TRUE, x = FALSE, y = FALSE, qr = TRUE,
singular.ok = TRUE, contrasts = NULL, offset, ...)
参数是formula模型公式，例如y ~ x。公式中波浪号（~）左侧的是响应变量，右侧是预测变量。函数会估计回归系数β0和β1，分别以截距（intercept）和x的系数表示。
有三种方式可以实现最小二乘法的简单线性回归，假设数据wage1（可以通过names函数查看数据框各项名称）
（1）lm(wage1$wage ~ wage1$educ + wage1$exper)
（2）lm (wage ~ educ + exper, data= wage1)
（3）attach(wage1)
lm(wage~educ+exper)#不要忘记处理完后用detach（）解出关联
我们以数据wage1为例，可以看到工资与教育水平的线性关系：
运行下列代码：
library(foreign)
A<-read.dta("D:/R/data/WAGE1.dta")#导入数据
lm(wage~educ,data=A)
>lm(wage~educ,data=A)
Call:
lm(formula = wage~ educ, data = A)
Coefficients:
(Intercept) educ
-0.9049 0.5414
当然得到这些数据是不够的，我们必须要有足够的证据去证明我们所做的回归的合理性。那么如何获取回归的信息呢？
尝试运行以下代码：
result<-lm(wage~educ,data=A)
summary(result)
我们可以得到以下结果：
Call:
lm(formula = wage~ educ, data = A)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-5.3396 -2.1501 -0.9674 1.1921 16.6085
Coefficients:
Estimate Std.Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.90485 0.68497 -1.321 0.187
educ 0.54136 0.05325 10.167 <2e-16 ***
---
Signif.codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standarderror: 3.378 on 524 degrees of freedom
MultipleR-squared: 0.1648, AdjustedR-squared: 0.1632
F-statistic: 103.4on 1 and 524 DF, p-value: < 2.2e-16
解读上述结果，我们不难看出，单从判决系数R-squared上看，回归结果是不理想的，但是，从p值来看，我们还是可以得到回归系数是很显著地（注意，这里的P<0.05就可以认为拒绝回归系数为0，即回归变量与被解释变量无关的原择假设，选择备择假设）所以说我们的回归的效果不好但还是可以接受的。当然，这一点也可以通过做散点图给我们直观的印象：
但是影响薪酬的因素不只是education，可能还有其他的，比如工作经验，工作任期。为了更好地解释影响薪酬的因素，我们就必须用到多元线性回归。
如果不需要那么多的信息，比如我们只需要F统计量，那么运行anova（result）即可得到方差分析表，更适合阅读。
另外，再介绍一下函数predict，用法如下：
predict(object, newdata, se.fit = FALSE, scale = NULL, df = Inf,
interval = c("none", "confidence", "prediction"),
level = 0.95, type = c("response", "terms"),
terms = NULL, na.action = na.pass,
pred.var = res.var/weights, weights = 1, ...)
说明一下，newdata的数据结构是一个数据框。这里还值得一提的参数时interval，他有三个选项：none代表不作区间预测，仅给出响应变量的估计；confidence是给出E（Y|X=x）的置信区间；prediction是给出真实Y的置信区间，运行代码你就会发现两者的差别。出于稳健性考虑，给出自变量取值时，预测Y值通常会采用prediction参数，但是对于X=x时Y的均值的预测就应该用confidence参数（因为回归模型是Y=βX+e，所以自变量相同，响应变量也未必一样）
二、多元线性回归
还是使用lm函数。在公式的右侧指定多个预测变量，用加号（+）连接：
> lm(y ~ u + v+ w)
显然，多元线性回归是简单的线性回归的扩展。可以有多个预测变量，还是用OLS计算多项式的系数。三变量的回归等同于这个线性模型：
yi = β0 + β1ui +β2vi + β3wi + εi
在R中，简单线性回归和多元线性回归都是用lm函数。只要在模型公式的右侧增加变量即可。输出中会有拟合的模型的系数：
>result1<-lm(wage~educ+exper+tenure,data=A)
>summary(result1)
Call:
lm(formula = wage~ educ + exper + tenure, data = A)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-866.29 -249.23 -51.07 189.62 2190.01
Coefficients:
Estimate Std.Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -276.240 106.702 -2.589 0.009778 **
educ 74.415 6.287 11.836 <2e-16 ***
exper 14.892 3.253 4.578 5.33e-06 ***
tenure 8.257 2.498 3.306 0.000983 ***
---
Signif.codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standarderror: 374.3 on 931 degrees of freedom
MultipleR-squared: 0.1459, AdjustedR-squared: 0.1431
F-statistic: 53 on 3 and 931 DF, p-value: < 2.2e-16
我们将数据稍作平稳化处理，将wage换成log（wage），再来看看。
>plot(wage~educ,data=A)
>A$logwage<-log(A$wage)
>result1<-lm(logwage~educ+exper+tenure,data=A)
>summary(result1)
Call:
lm(formula =logwage ~ educ + exper + tenure, data = A)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-2.05802 -0.29645 -0.03265 0.28788 1.42809
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.284360 0.104190 2.729 0.00656**
educ 0.092029 0.007330 12.555 < 2e-16 ***
exper 0.004121 0.001723 2.391 0.01714 *
tenure 0.022067 0.003094 7.133 3.29e-12 ***
---
Signif.codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standarderror: 0.4409 on 522 degrees of freedom
MultipleR-squared: 0.316, AdjustedR-squared: 0.3121
F-statistic: 80.39on 3 and 522 DF, p-value: < 2.2e-16
看得出，平稳化后的数据线性性是更加好的。
下面我们来提取回归分析的各项统计数据：
一些统计量和参数都被存储在lm或者summary中
output <-summary (result1)
SSR<- deviance（result1）＃残差平方和；（另一种方法：RSquared <- output$r.squared)
LL<-logLik(result1) #对数似然统计量
DegreesOfFreedom<-result1$df #自由度
Yhat<- result1$fitted.values#拟合值向量
Resid<- result1$residuals
s<-output$sigma #误差标准差的估计值（假设同方差）
CovMatrix <-s^2*output$cov #系数的方差－协方差矩阵（与vcov(result1)同）
ANOVA<-anova(result1)#F统计量
confidentinterval<-confint(result1)#回归系数的置信区间,level=0.95
effects(result1)#计算正交效应向量（Vector of orthogonal effects ）
predict函数用法与一元完全相同
三、检查结果
检查回归结果是一件复杂而痛苦地事情，需要检验的东西也很多，当然有不少事是应该在数据进行回归分析之前就该处理的，比如检查复共线性；也有处理中需要考虑的，比如模型的选择，数据的变换；也有事后需要做的，比如残差正态性检验；还有需要关注与特别处理的数据，比如离群点，杠杆点。
这里我们只提最简单与最常见的事后处理的基本分析。
通过图形我们可以以一种十分直观的办法检测我们的拟合效果：
plot(result1)
通过扩展包car中的函数来检测异常值与主要影响因子。代码如下：
library(car)
outlierTest(result1)
influence.measures(result1)
library(car)
outlierTest(result1)
influence.measures(result1)
在R中，线性回归计算变得无比简单，一个lm函数（或glm函数）基本上就摆平了OLS的一切。但拟合数据还仅仅是万里长征第一步。最终决定成败的是拟合的模型是否能真正地派上用场。这样对结果的检测与分析就显得尤为重要。
